专升本数学考数列极限吗(函数极限的六种严格定义)
专升本数学考数列极限吗，函数极限的六种严格定义？
定义
设函数在点的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的函数值都满足不等式：
那么常数A就叫做函数当时的极限，记作
概念
函数极限可以分成 ，而运用ε-δ定义更多的见诸已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。
以 的极限为例，f(x) 在点 以A为极限的定义是： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x满足不等式 时，对应的函数值f(x)都满足不等式： ，那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。
问题的关键在于找到符合定义要求的 ，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。1999年的研究生考试试题中，更是直接考察了考生对定义的掌握情况。
如函数极限的唯一性（若极限存在，则在该点的极限是唯一的）
存在准则
有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。
1.夹逼定理：（1）当(这是的去心邻域，有个符号打不出）时，有成立
（2）,那么，f(x)极限存在，且等于A
不但能证明极限存在，还可以求极限，主要用放缩法。
2.单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。
在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。
3.柯西收敛准则
数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当m>N，n > N时，且m≠n，有。我们把满足该条件的{Xn}称为柯西序列，那么上述定理可表述成：数列{Xn}收敛，当且仅当它是一个柯西序列。
方法
①利用函数连续性：
（就是直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0）
②恒等变形
当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：
第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。
第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。
第三：以上我所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）
当然还会有其他的变形方式，需要通过练习来熟练。
③通过已知极限
特别是两个重要极限需要牢记。
④采用洛必达法则求极限
洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。
高中为什么学导数前不先学极限？
高中导数是高数下放下来的，而高中内容太多，无法系统学习前面极限知识，因为函数极限前要先学数列极限，即函数极限学完后还需学习函数连续等知识，然后再学导数。所以高中无法系统学完，而直接跳过去，直接学导数。
怎么用数学归纳法证明数列单调递增？
考研数学中，证明数列极限存在的其中一种常见方法是单调有界法。即要确定数列是否有界并且判断数列是否单调。如果判断出数列单调上升且有上界或判断出数列单调递减有下界均可以证明数列的极限存在。可以先证明数列有上(下)界然后证明数列的单调性；也可以先证明数列的单调性再证明数列存在上(下)界。注意对于某一个不分段的确定数列来讲，它可能既存在着上界同时又存在着下界，但是它的单调性一旦存在，数列是递增还是递减是唯一可确定的。所以判断出数列的单调性及数列的增减性至关重要。方法我认为基本如下:①数学归纳法，进行递推:自己预估数列是单增的还是单减的，如预估为单增可以先代入具体值得到X1＜X2,假设第n项时Xn<Xn+1,然后用Xn+1设法推出Xn+1<Xn+2。如若预估为递减，方法类似。即判断Xn+1＞Xn(或Xn+1＜Xn)得到单调性；行不通时也可通过Xn+1/ Xn ＞1(或Xn+1 / Xn ＜1)得到单调性。②第二种方法就是你所问的将数列转化为函数之后再对函数求导来判断数列的单调性是否存在以及数列是递增的还是递减的这种方法。方法是这样的:(李正元全书截图。注意宇神18讲上并没有这个方法，所以19的研友们还是多留意下)这个其实可以利用拉格朗日中值定理来证明。有数列｛Xn｝，包含X1,X2...Xn...根据前面方法①的铺垫，我们自然而然会想到利用“Xn －Xn-1”来判断数列单调性，见到这个东西，相信听过汤神或宇神课的朋友都能想到利用Lagrange对吧。这时有，f(Xn)－f(Xn-1)=f'(ξ)(Xn－Xn-1) (ξ在Xn-1和Xn之间)再由递推式Xn+1=f(Xn),可将上面的等式写作:Xn+1－Xn=f'(ξ)(Xn－Xn-1)可以想到，如果数列是单调的，那么数列中后一项减前一项的和要么永远是大于0的(单增的情况)；要么永远是小于0的(单减的情况)。如果后一项减前一项有的单增有的单减，那么这个数列它肯定不具有单调性。所以我们会发现，数列具有单调性时，它的后一项减前一项的值永远是同号的(同正或同负)。那么如何满足Xn+1－Xn和Xn－Xn-1始终同号呢？很显然要保证f'(ξ)是大于0的。你会发现，这样并不能保证要判断的数列一定是单调递增的。而具体判断递增递减很容易，既然一个数列的单调性存在，那这个数列是递增还是递减是客观唯一的。所以说，可以求出数列前几项(可以是前两项)的数值，比较前几项的数值大小，进而确定出数列的整体增减性。
为什么数列单调递增只需要证明有上界就收敛？
单调递增数列只要有上界就必然收敛。
很容易理解的：
数列单调递减则第一项X[1]是最大的也就是说X[1]就是它的上界，已知了下界N，则对于任意的n都有X[n]在X[1]和N之间，设|X[1]|和|N|中较大的数等于M，则对于任意的n都有X[n]≤M。又数列单调，所以必有极限。
高数极限数列极限为无穷和极限不存在有什么区别？
极限是无穷大，属于极限不存在的一种。但是极限不存在，除了极限无穷大以外，还有数列无穷震荡等其他情况。两者的区别就类似于整数和偶数的区别一样，偶数是整数，但是整数不只有偶数。
